Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 7

Am Anfang dieser Vorlesung definieren wir die Umlaufzahl bezüglich eines festen Punktes p. Außerdem beschäftigen wir uns mit Konsequenzen aus der Homotopieinvarianz der Umlaufzahl. So weisen wir zum Beispiel nach, dass die Umlaufzahl auf dem Komplement des Bildes der Kurve lokalkonstant sein muss, d.h. sie ist auf jeder Komponente dieses Komplementes konstant. Eine weitere Erkenntnis ist, dass sich die Umlaufzahl nun auch für stetige Kurven durch Approximation definieren lässt.

Als erste Anwendung der Theorie planarer Kurven wird der Jordan'sche Kurvensatz präsentiert. Dieser besagt, dass jede einfach geschlossene Kurve die Ebene in zwei Gebiete aufteilt - eines davon ist beschränkt und eines davon ist unbeschränkt. Aus dem Beweis lernt man auch, dass man anhand der Umlaufzahl feststellen kann in welchem man sich befindet.