Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 21

In dieser Vorlesung führen wir den Begriff der geodätischen Krümmung in einem Riemannschen Gebiet (U,g) ein und diskutieren den Zusammenhang mit der Krümmung von Kurven in R^2.

Insbesondere stellen wir einen Bezug im Spezialfall her, dass g eine konforme Metrik ist. Danach klären wir die Invarianz des Krümmungsbegriffes unter Umparametrisierung und diskutieren, warum die geodätische Krümmung die erste Variation der Bogenlänge (bezüglich g) darstellt. Hierbei verallgemeinern wir einige wichtige Konzepte aus Kapitel 3 auf Riemannsche Gebiete.

Am Ende der Vorlesung führen wir Geodätische ein und diskutieren deren Interpretation als Kandidaten für Minimierer der Bogenlänge. Wir beobachten, dass es zu jedem festen Punkt und jeder festen Anfangsgeschwindigkeit lokal eine eindeutige Geodätische gibt, deren Maximales Definitionsintervall aber zunächst unbekannt ist. Wir diskutieren, was mit Geodätischen am Rand ihres maximalen Definitionsbereiches passieren muss.