Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 10

In dieser Vorlesung behandeln wir das Transformationsverhalten geometrischer Größen unter Umparametrisierungen von Flächen.Wir leiten zunächst her, wie sich die Gram'sche Matrix transformiert. Daraus folgern wir dann, wie sich Kurvenlänge, Winkel und Oberflächeninhalt transformieren.

Diese Überlegung führt auf die Frage, ob es für Flächen "vorteilhafte" Parametrisierungen gibt -- analog zu der Bogenlängenparametrisierung von Kurven. Hierzu führen wir die Begriffe einer längentreuen, flächentreuen und einer winkeltreuen Parametrisierung ein.

Diese Begriffe sind über ihre geometrischen Eigenschaften definiert, so z.B. verändert das Verketten mit einer längentreuen Parametrisierung die länge einer Kurve im Definitionsbereich der Parametrisierung nicht. Eine solche geometrische Forderung kann aber auch in eine analytische Bedingung an die Gram'sche Matrix übersetzt werden - wie diese Bedingungen aussehen wird am Ende der Vorlesung besprochen.

Abschließend wird anhand dieser analytischen Bedingungen diskutiert, wie plausibel es ist, dass sich jede Fläche auf die jeweilige Weise umparametrisieren lässt.