Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 19

In dieser Vorlesung beweisen wir den Hauptsatz der Flächentheorie. Wir betrachten dafür die Ableitungsgleichungen der Flächentheorie als gewöhnliche Differentialgleichungen und finden schrittweise entlang jeder koordinatenlinie Lösungen.

Um sicherzustellen, dass sich diese Lösungen entlang der Koordinatenlinien auch zu einer Fläche mit der gegebenen ersten und zweiten Fundamentalform zusammensetzen lassen, benötigen wir die Gaußgleichungen und die Codazzi-Mainardi-Gleichungen.

Sehr häufig wird hierbei das Existenz -und Eindeutigkeitsresultat aus dem Satz von Picard-Lindelöf verwendet.

Bei dem Zugang über die Koordinatenlinien ist wichtig, dass der Definitionsbereich ein Quadrat ist. Es ist aber möglich, ein ähnliches Resultat für einfach zusammenhängende Definitionsbereiche zu erlangen. Auf die Forderung nach einfachem Zusammenhang kann allerdings nicht ohne Weiteres verzichtet werden, wie man vielleicht auch bei der Benutzung des Lemmas von Poincare über Gradientenfelder am Ende des Beweises erkennt.