Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 11

In dieser Vorlesung befassen wir uns mit der zweiten Fundamentalform und der Weingartenabbildung.

Die zweite Fundamentalform beschreibt die Normalenkomponente der zweiten Ableitungen einer Immersion  -- in Analogie zur Krümmung von Kurven. Zu der zweiten Fundamentalform ist die Weingartenabbildung assoziiert - diese ist eine (bezüglich der ersten Fundamentalform) selbstadjungierte Abbildung, die die zweite Fundamentalform "bezüglich der ersten Fundamentalform" darstellt. Dass eine solche Abbildung stets eindeutig wählbar ist zeigt ein Resultat aus der linearen Algebra. Diese ist nun also ein (explizit berechenbarer) Endomorphismus, der alle Krümmungseigenschaften der Fläche beschreibt.

Wir berechnen für einige Beispielflächen die Weingartenabbildung und studieren danach die Weingartengleichung, die die Ableitung des Normalenfeldes über die Weingartenabbildung beschreibt.

Am Ende der Vorlesung charakterisieren wir alle Flächen mit verschwindender Weingartenabbildung (=Ebenenstücke) und alle Flächen, deren Weingartenabbildung ein Vielfaches der Eingheitsmatrix ist (=Kreisstücke).