Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 17

In dieser Vorlesung beginnen wir mit dem Studium des Hauptsatzes der Flächentheorie. Hierbei fragen wir uns, ob es für zwei vorgegebene Matrizen G und A eine (eindeutige) Fläche mit erster Fundamentalform G und zweiter Fundamentalform A gibt.

Leider wird die Frage in dieser Allgemeinheit negativ beantwortet: Es ist notwendig gewisse notwendige Zusammenhänge an G und A vorzuschreiben.

Ein wichtiges Instrument um diese notwendigen Zusammenhänge zu finden, ist die kovariante Ableitung, welche wir in dieser Vorlesung diskutieren. Wir führen sie als tangentiale Komponente der zweiten Ableitungen der Immersion ein und leiten wichtige Eigenschaften her.

Um diese kovariante Ableitung quantitativ beschreiben zu können, führen wir die Christoffelsymbole ein und leiten eine explizite Formel für diese her.