Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 14

In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit der ersten Variation des Oberflächeninhaltes.

Wir zeigen, dass die erste Variation mithilfe der mittleren Krümmung dargestellt werden kann. Diese Aussage eröffnet eine neue Sichtweise auf Minimalflächen: Diese können nun als kritische Punkte des Oberflächeninhaltes gesehen werden.

Eine wichtige Aussage, die wir auf dem Weg dahin finden ist, dass der mittlere Krümmungsvektor stets mit dem Laplace-Beltrami-Operator der Fläche übereinstimmt.

Dies machen wir uns am Ende der Vorlesung zunutze, um den mittleren Krümmungsvektor einer graphischen Rotationsfläche leicht auszurechnen. Mit dieser leichten Formel lassen sich leicht alle graphischen Rotationsflächen charakterisieren, die Minimalflächen sind -- Die Katenoide (oder Kettenflächen)