Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 4

In dieser Vorlesung führen wir zunächst das wichtige Konzept der Krümmung einer Kurve ein. Diese Beschreibt die Biegungseigenschaften einer Kurve geometrisch. Zunächst können wir die Krümmung nur für Kurven bestimmen, die nach der Bogenlänge parametrisiert sind, doch später werden wir mit Umparametrisierungstechniken diese Annahme los. Ferner klären wir - wie bei jedem geometrischen Objekt - das Verhalten der Krümmung unter Isometrien.

Der zweite Teil der Vorlesung befasst sich mit dem Satz von Fenchel. Dieser besagt, dass die aufintegrierte Krümmung einer jeden C^1-geschlossenen Kurve größer oder gleich 2pi sein muss. Die Erkenntnis, dass das Schließen einer Kurve eine gewisse Menge Krümmung erzwingt ist ein wichtiger Aspekt sowohl in der klassischen als auch in der modernen Differentialgeometrie.

Der Beweis vom Satz von Fenchel arbeitet stark mit der Beobachtung, dass für jede bogenlängenparametrisierte Kurve c die Ableitungskurve gamma = c' wiederum eine Kurve ist (die sogar auf S^{n-1} verläuft). Betimmte Eigenschaften von c übersetzen sich in Eigenschaften von gamma, so zum Beispiel ist die aufintegrierte Krümmung von c dasselbe wie die Länge von gamma.