Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 2

In dieser Vorlesung zeigen wir zunächst, dass alle Lipschitz-stetigen Kurven auf einem beschränkten Intervall rektifizierbar sind, d.h. endliche Länge haben. Danach widmen wir uns der  Bogenlängenformel für die Länge von C^1-Kurven, die deutlich einfacher nachzurechnen ist als die Definition. Da wir uns in Zukunft sehr häufig mit C^1-Kurven beschäftigen werden, führen wir den Begriff einer C^1-Umparametrisierung ein. Das sind diejenigen Umparametrisierungen, unter denen die stetige Differenzierbarkeit erhalten bleibt. 

Wir führen danach den Begriff einer regulären Kurve ein -- dieser beschreibt Kurven, die mit nichtverschwindender Geschwindigkeit durchlaufen werden. Deren Bild kann stets lokal als eine C^1-Untermannigfaltigkeit aufgefasst werden - ohne die Regularität ist das im Allgemeinen nicht richtig. 

Wir stellen am Ende der Vorlesung fest, dass jede reguläre C^1-Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert werden kann, d.h. die Kurve kann so umparametrisiert werden, dass sie eine längentreue Abbildung erklärt. Man stellt sich hierbei vor, dass man die Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit durchläuft.