Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 22

In dieser Vorlesung besprechen wir die Invarianz der (riemannschen) kovarianten Ableitung und der geodätischen Krümmung unter (riemannschen) Isometrien. Bei der kovarianten Ableitung muss zunächst geklärt werden was ein sinnvoller Begriff der Invarianz ist. In diesem Zusammenhang dieskutieren wir das Konzept der phi-Verwandtheit.

Eine bemerkenswerte Erkenntnis hieraus ist, dass die kovariante Ableitung (von zwei gleichen normierten Vektorfeldern) über die geodätische Krümmung einer Integralkurve beschrieben werden kann. Aus diesem Grund ist es möglich, die Invarianzdiskussion der kovarianten Ableitung auf die Invarianz der geodätischen Krümmung zurückzuführen. Letztere wiederum ist eine direkte Konsequenz aus der Variationsformel für die Bogenlänge.

Am Ende der Vorlesung besprechen wir den Satz von Stokes in Vorbereitung auf den Satz von Gauß-Bonnet.