Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 13

In dieser Vorlesung studieren wir die lokale Normalform der Flächen näher. Wir zeigen, dass das Wachstum der lokalen Graphendarstellung durch die Hauptkrümmungen  der Fläche beschrieben werden kann.

Hierbei benutzen wir eine wichtige Beobachtung aus Beispiel 7.1: Die Weingartenabbildung einer Graphenfläche stimmt an Punkten mit einer horizontalen Tangentialebene mit der Hessematrix des Graphen überein.

Eine wichtige Folgerung daraus ist, dass wir das Verhalten der Immersion bezüglich ihrer Normalenrichtung mithilfe der Gaußkrümmung kontollieren können -- dies zeigt noch einmal, dass die Hauptkrümmungen ein wichtiges Tool zur Beschreibung des lokalen Verhaltens einer Fläche sind.

Anhand der Gaußkrümmung können wir dann auch zwischen elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Punkten einer Fläche unterscheiden.

Am Ende der Vorlesung widmen wir uns einigen notwendigen Vorbereitungen zur Beschreibung von Minimalflächen, d.h. Flächen mit H=0. Dazu besprechen wir eine Möglichkeit, ein jedes Vektorfeld als Summe eines tangentialen Vektorfeldes und eines normalen Vektorfeldes zu schreiben. Außerdem besprechen wir die Ableitung der Determinantenabbildung.