Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 9

In dieser Vorlesung definieren wir eine Fläche als Bild einer Immersion F. Deren Tangentialraum einer solchen Fläche ist an jedem Punkt x das Bild der Jacobimatrix DF(x).

Wir studieren die erste Fundamentalform einer Fläche grundlegende Eigenschaften dieser. Die erste Fundamentalform ist eine vom Ort abhängige Bilinearform, die durch die Gram'sche Matrix dargestellt wird. Sie beschreibt, wie die Parametrisierung F geometrische Größen beeinflusst. So kann man zum Beispiel über die erste Fundamentalform charakterisieren, welchen Einfluss das Anwenden von F auf die Länge von Kurven hat.

Man findet auch heraus, dass die Jacobimatrix DF jedem Punkt eine Isometrie zwischen der Ebene (ausgestattet mit der ersten Fundamentalform) und dem Tangentialraum von F (ausgestattet mit dem Skalarprodukt auf R^3) erklärt. Das heißt insbesondere, dass man Winkel und Längen im Tangentialraum mit der ersten Fundamelntalform beschreiben kann.

Zum Ende der Vorlesung kommen wir auf die Oberfläche zu sprechen. Wir motivieren aus der Anschauung eine Formel für die Oberfläche und klären wiederum, wie diese über die erste Fundamentalform berechnet werden kann.