Analysis 3 Video 11 17.11.2020

In dieser Vorlesung wird das Lebesgue-Integral eingeführt. Hierzu geht die Vorlesung schrittweise vor. Zunächst wird das Integral über sogenannte nichtnegative Treppenfunktionen definiert. Um das Integral dort zu definieren und Eigenschaften zu zeigen, benötigt man die sogenannte einfache Darstellung einer Treppenfunktion, mit der man sich in dem Kontext zunächst eingehend beschäftigen muss. Ist das Integral über nichtnegative Treppenfunktionen definiert, so kann man das Integral über nichtnegative messbare Funktionen definieren durch Supremumsbildung über sogenannte Unterfunktionen. Durch Zerlegung in Positivteil und Negativteil entwickelt man auch einen sinnvollen Integralbegriff für allgemeine messbare Funktion. In dem Zusammenhang fällt der Begriff der Integrierbarkeit.

Am Ende der Vorlesung werden zwei wichtige Beispiele diskutiert: Zum einen, dass man in der Lebesgue'schen Theorie das Lebesgue-Integral über die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen berechnen kann - eine deutliche Verbesserung gegenüber der Riemann-Theorie. Zum anderen, dass das Lebesgue-Integral über das Zählmaß mit dem Begriff einer (absolut konvergenten) Reihe zusammenfällt.