Analysis 3 Übungsblatt 11 Aufgabe 2

Dies ist die Musterlösung zu Blatt 11 Aufgabe 2.

Errata(07.02.2021) -- vielen Dank für den hilfreichen Forumsbeitrag! Um die Formeln in den Dollarzeichen mathematisch darzustellen empfehle ich  https://codecogs.com/latex/eqneditor.php

(1) Bei 3:39: Statt $(r,t) in mathbb{R}^2$ heißt sollte es heißen $(r,t) in (0, infty) times (a,b)$.

Ab da würde ich auchim Video stets $I := (a,b)$ betrachten und nicht $I = [a,b]$ wie in der Aufgabenstellung, das könnte man sich ja umdefinieren. Nur dann ist A auch wirklich offen

(2) Bei 6:56: $f(r,t) = r(t) - r$ anstatt $f(r,t) = r-r(t)$

(3) Bei 13:41: Ich will hier $k = 0$ folgern, jedoch gilt $phi(t_1), phi(t_2) in [0, 2pi]$. Falls z.B. $phi(t_1) = 0$ und $phi(t_2) =2 pi$ kann der Fall $k = 1$ oder $k = -1$ also  durchaus auftreten...

Die Lösung: Betrachtet man wie oben $phi$ nur auf $(a,b)$ , so kann $phi$ die Extremalwerte $0$ und $2pi$ gar nicht annehmen. Denn würde $phi$ diese Werte auf $(a,b)$ annehmen, so hätte $phi$ dort ein Extremum. Bei Extrema ist die Ableitung von $phi$ aber gleich Null. Da wir gefordert haben, dass $phi' > 0$ ist, kann das nicht sein.

Somit gilt eigentlich $phi(t_1), phi(t_2) in (0,2pi)$ -- und dann klappt auch die Folgerung mit $k = 0$.

Entschuldigt die Fehler!