Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 12

In diesem Video studieren wir zunächst das Transformationsverhalten der Weingartenabbildung und der zweiten Fundamentalform.

Danach führen wir das Konzept der Hauptkrümmungen ein. Diese beiden Krümmungswerte sind zunächst die Eigenwerte der Weingartenabbildung. Sie haben aber auch eine andere Interpretation: Sie sind Extremalwerte der zweiten Fundamentalform auf der Menge aller Vektoren, deren quadratsiche erste Fundamentalform auf Eins normiert ist.

Die Hauptkrümmungsrichtungen (= Richtungen der Eigenvektoren der Weingartenabbildung) bestimmen eine Orthonormalbasis (bezüglich der ersten Fundamal), die die zweite Fundamentalform "diagonalisiert".

Des weiteren führen wie die mittlere Krümmung (=Spur der Weingartenabbildung) und die Gauß'sche Krümmung (=Determinante der Weingartenabbildung ein)

Als Beispiel berechnen wie die Hauptkrümmungen eines Helikoides. Um hier die Berechnung der Eigenwerte zu vereinfachen, sehen wir ein Verfahren, wie wir die Haupkrümmungen aus der mittleren Krümmung und der Gaußschen Krümmung (welche leich berechenbar sind) erhalten können.

Zum Schluss wird eine lokale Graphendarstellung von Immersionen diskutiert.