Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 5

In dieser Vorlesung studieren wir zunächst die erste Variation der Bogenlänge, d.h. wir untersuchen, wie sich die Bogenlänge verhält, wenn man die Kurve in eine bestimmte Richtung stört. Wir finden anhand der Formel raus, dass Störungen in Richtung des Krümmungsvektors den steilsten Abstieg der Länge möglich machen. Wir diskutieren formal, was dieser Sachverhalt mit dem Begriff des Gradienten zu tun hat, den wir aus der Analysis kennen.

Im zweitern Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns mit ebenen Kurven. Im Falle ebener Kurven können wir eine bis auf Vorzeichen eindeutige Einheitsnormale festlegen. Diese erlaubt uns, zu der Krümmung auch ein Vorzeichen zu assoziieren, welches angibt, ob die Kurve in die Richtung der gewählten Normalen oder in die entgegengesetzte Richtung gekrümmt ist. Am Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit den Invarianzen dieser "signierten" Krümmung unter Isometrien und Umparametrisierung.