Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 18

In dierer Vorlesung leiten wir zunächst die Ableitungsgleichungen der Flächentheorie her, die alt partielle Differentialgleichungen das Verhalten der Tangentenvektoren und des Normalenvektors beschreiben.

Aus diesen Ableitungsgleichungen errechnen sich notwendige Relationen zwischen der ersten und zweiten Fundamentalform. Sie heißen Gaußgleichung und Codazzi-Mainardi-Gleichung.

Geben wir uns den Spezialfall einer konform parametrisierten Fläche vor, so lässt sich die Gaußgleichung zu einer sehr einfachen Gleichung herunterkochen -- der Gleichung von Liouville. Man folgert aus ihr, dass jede Fläche, die längentreu parametrisierbar ist, verschwindende Gaußkrümmung haben muss. 

Am Ende der Vorlesung folgern wir mit einem ähnlichen Gedankengang das Theorema egregium, d.h. die Gaußkrümmung ist nur durch die erste Fundamentalform bestimmt (und hängt damit erstaunlicherweise gar nicht von der zweiten Fundamentalform ab!)