Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 6

In dieser Vorlesung wird der Begriff der Umlaufzahl behandelt. Diese gibt in einer genzen Zahl an, wie oft sich eine geschlossen Kurve um den Nullpunkt herum windet. Zunächst wird die Umlaufzahl über eine Integralgleichung eingeführt. Deren Interpretation wird erst offensichtlich, wenn man die Kurve in Polarkoordinaten ausdrückt. Dies führt auf die Frage nach der Existenz genügend oft differenzierbaren Polarkoordinatendarstellung, die wir positiv beantworten.

Im letzten Teil der Vorlesung wird beobachtet, dass die Umlaufzahl invariant unter Homotopien ist. Das heißt, dass die stetige Deformation einer Kurve die Umlaufzahl nicht ändert, sofern die Deformation den Nullpunkt nicht trifft. Diese Eigenschaft wird uns später erlauben, die Umlaufzahl auch für nicht-differenzierbare Kurven zu definieren.