Vorlesung 27 21.01.2020

In dieser Vorlesung wird die Geometrie von Oberflächen begonnen. Hierzu wird zunächst der Begriff einer Immersion definiert. Immersionen von R^n nach R^{n+k} beschreiben stets n-dimensionale "Oberflächenstücke" in R^{n+k}. Wir definieren den Flächeninhalt einer Immersion und motivieren den zugehörigen Integrationsfaktor - die sogenannte Jacobi'sche - mithilfe der Riemannschen Geometrie. Wir zeigen mit mehreren Beispielen, wie Kurven und Oberflächen und Graphen von Funktionen mithilfe von Immersionen beschrieben werden können und wie jeweils die Jacobi'sche aussieht. Am Ende klären wir noch, in was für einer Form der Oberflächenbegriff konsitent mit einem "Oberflächenmaß" ist, indem wir Konsistenz mit dem Lebesguemaß für flache Immersionen zeigen. Desweiteren untersuchen wir zwei wichtige Invarianten des Oberflächeninhaltes: Invarianz unter Umparametrisierung und Invarianz unter Euklidischen Bewegungen,