Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 8

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  • hochgeladen 14. Mai 2021

In dieser Vorlesung behandeln wir den Index einer regulären Kurve. Grundsätzlich ist der Index nichts anderes als die Umlaufzahl der ersten Ableitungskurve. Man beobachtet leicht, dass es sich bei dieser Zahl um das Wegintegral über die Krümmung handeln muss. Dies verknüpft das Konzept der Krümmung mit der Umlaufzahl.

Nachdem wir die Invarianzen diskutiert haben und den Index einer k-fach durchlaufenen Kreislinie berechnet haben, beweisen wir den Hopf'schen Umlaufsatz. Dieser besagt, dass eine C^1-geschlossene und einfach geschlossene Kurve stets einen index vom +1 oder -1 haben muss. Im Falle, dass die Kurve ein Gebiet berandet (und die Normale richtig gewählt ist) kann sogar das Vorzeichen genau bestimmt werden.