Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 16

Diese Vorlesung zeigt zunächst ein weiteres Klassifikationsresultat der Flächen mit Gaußkrümmung Null: Wir können nämlich schließen, dass es eine offene dichte Teilmenge gibt, auf der sich eine Fläche mit Gaußkrümmung Null stets lokal durch ein Stück einer Ebene, Zylinderfläche, Kegelfläche oder einer Tangentenfläche beschreiben lässt.

Im zweiten Teil der Vorlesung widmen wir uns dem Beweis der Existenz von Krümmungslinienparametern. Hierbei wird eine Reparametrisierung durch einen Fluss entlang der Hauptkrümmungsrichtungen konstruiert. Einen solchen Diffeomorphismus kann man allerdings nur erhalten, wenn der Kommutator der beiden Ruchtungsvektorfelder verschwindet. Ist dies nicht der Fall, so kann man -- wie wir zeigen -- geeignete Streckungen der Hauptkrümmungsrichtungen betrachten, für die der Kommutator verschwindet. Eine solche Modifikation ist allerdings nur in zwei Dimensionen ohne Weiteres möglich.