Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 3

In dieser Vorlesung diskutieren wir den "Bogenabstand" zweier Punkte auf der Sphäre S^{n-1}. Hiermit meinen wir die Länge der Kürzesten Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten p und q, die zusätzlich komplett in der Sphäre S^{n-1} liegt.

Ein erster Schritt des Beweises ist, dass wir zeigen, dass jede Verbindungsstrecke zwischen p und q länger sein muss als der Winkel zwischen p und q. Hierbei kommt die Polarwinkelfunktion ins Spiel. Für den Beweis der Aussage ist es zentral, deren Eigenschaften zu diskutieren.

Im zweiten Schritt treffen wir Aussagen für den Fall, dass Gleichheit gilt. Wir untersuchen also Kurven, deren Länge exakt gleich dem Winkel zwischen p und q ist. Wir stellen fest, dass alle solche Kurven monotone Parametrisierungen des (kürzeren) Großkreisbogens zwischen p und q sind.

Im Verlauf des Beweises machen wir einige Annahmen, die wir am Ende noch diskutieren müssen. Das lässt sich als dritter Schritt des Beweises verstehen. 

Da der zweite Schritt eine Aussage aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen verwendet, ist er optionales Zusatzmaterial. [Minute 48 bis 61]. An der genauen Stelle wurde eine Überblende eingefügt, damit Sie den Teil (falls gewollt) überspringen können. Nichtsdestotrotz beantworten wir gerne auch Fragen zu diesem Teil!