Elementare Differentialgeometrie -- Vorlesung 15

In dieser Vorlesung sprechen wir zunächst über Regelflächen. Diese Flächen werden durch eine Leitkurve und einen normierten Vektor entlang dieser Leitkurve erzeugt.

Zu Beginn der Vorlesung drücken wir die Determinante der Gramschen Matrix, die zweite Fundamentalform und die Gaußkrümmung in Termen der Leitkurve und des Richtungsvektors aus. Wir sehen, dass Regelflächen stets nichtpositive Gaußkrümmung besitzen.

In der Mitte der Vorlesung zeigen wir, dass jede Fläche mit verschwindender Gaußkrümmung K = 0 als Regelfäche umparametrisiert werden kann.

Dies wirft die Frage nach einer Klassifikation der Regelflächen mit verschwindender Gaußkrümmung auf, welcher wir uns am Ende der Vorlesung widmen. Wir sehen zunächst einige Beispiele: Zylinderflächen, Kegelflächen und Tangentenflächen.